Trigonometrie — Mathematiques 3eme | Précepteur Scolaire
La trigonometrie permet de calculer des angles et des longueurs dans un triangle rectangle a partir de deux elements connus. C'est un chapitre incontournable du brevet — et la base de toute la trigo du lycee.
Les trois rapports trigonometriques
Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A :
| Rapport | Formule | Moyen mnemotechnique |
|---|---|---|
| Sinus | sin(B) = cote oppose / hypotenuse = AC/BC | SOH |
| Cosinus | cos(B) = cote adjacent / hypotenuse = AB/BC | CAH |
| Tangente | tan(B) = cote oppose / cote adjacent = AC/AB | TOA |
Moyen mnemotechnique complet : "SOH CAH TOA"
- Sinus = Oppose / Hypotenuse
- Cosinus = Adjacent / Hypotenuse
- Tangente = Oppose / Adjacent
Identifier "oppose", "adjacent", "hypotenuse"
Pour l'angle B dans un triangle rectangle en A :
- Hypotenuse : le cote oppose a l'angle droit (toujours BC, le plus long)
- Cote oppose a B : le cote qui ne touche pas B, soit AC
- Cote adjacent a B : le cote qui touche B mais n'est pas l'hypotenuse, soit AB
Calculer une longueur inconnue
Exemple : triangle rectangle en A, angle B = 35°, BC = 10 cm. Trouver AC.
sin(35°) = AC/BC → AC = BC × sin(35°) = 10 × 0,574 = 5,74 cm
Exemple 2 : angle B = 42°, AB = 7 cm. Trouver BC.
cos(42°) = AB/BC → BC = AB/cos(42°) = 7/0,743 = 9,42 cm
Calculer un angle inconnu
Exemple : AC = 5 cm, BC = 8 cm. Calculer l'angle B.
sin(B) = AC/BC = 5/8 = 0,625
B = arcsin(0,625) → B ≈ 38,7°
Sur la calculatrice : touche sin⁻¹ ou arcsin (souvent Shift + sin).
Valeurs remarquables a connaitre
| Angle | Sinus | Cosinus | Tangente |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0,5 | √3/2 ≈ 0,866 | 1/√3 ≈ 0,577 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,707 | √2/2 ≈ 0,707 | 1 |
| 60° | √3/2 ≈ 0,866 | 0,5 | √3 ≈ 1,732 |
| 90° | 1 | 0 | indefini |
Relation fondamentale
sin²(α) + cos²(α) = 1 (pour tout angle α)
Exercice type brevet
Un poteau de 8 m de haut est plante verticalement. Son ombre mesure 6 m. Calculer l'angle d'elevation du soleil.
tan(α) = 8/6 = 4/3 ≈ 1,333
α = arctan(1,333) ≈ 53,1°
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