Les triangles en 4eme — construction et proprietes
Le triangle est la figure geometrique la plus fondamentale. En 4eme, on approfondit ses proprietes, ses droites remarquables et les criteres de congruence. C'est aussi le chapitre ou le theoreme de Pythagore fait son apparition.
Les proprietes de base
La somme des angles
Dans tout triangle, la somme des angles interieurs est egale a 180°.
angle A + angle B + angle C = 180°
Application : si angle A = 70° et angle B = 50°, alors angle C = 180 - 70 - 50 = 60°.
L'inegalite triangulaire
Pour que trois longueurs puissent former un triangle, il faut que :
chaque cote soit strictement inferieur a la somme des deux autres.
Test simplifie : la somme des deux plus petits cotes doit etre superieure au plus grand cote.
Exemple : 3 cm, 5 cm, 9 cm : 3 + 5 = 8 < 9 → impossible, ces longueurs ne forment pas un triangle.
Exemple : 4 cm, 6 cm, 8 cm : 4 + 6 = 10 > 8 → possible.
Les types de triangles
| Type | Caracteristique |
|---|---|
| Quelconque | Aucune propriete particuliere |
| Isocele | Deux cotes egaux (et deux angles egaux) |
| Equilateral | Trois cotes egaux (et trois angles de 60°) |
| Rectangle | Un angle de 90° |
| Isocele rectangle | Isocele et rectangle (angles 90°, 45°, 45°) |
Les droites remarquables
Chaque triangle possede quatre types de droites remarquables :
La mediatrice
Perpendiculaire a un cote, passant par son milieu. Elle se construit avec un compas (sans rapporteur). Les trois mediatices se croisent en un point equidistant des trois sommets : le centre du cercle circonscrit.
La bissectrice
Droite qui coupe un angle en deux parties egales. Les trois bisectrices se croisent au centre du cercle inscrit.
La mediane
Segment joignant un sommet au milieu du cote oppose. Les trois medianes se croisent au centre de gravite G, qui est le barycentre du triangle.
La hauteur
Perpendiculaire au cote oppose, partant d'un sommet. Les trois hauteurs se croisent a l'orthocentre H.
Construction d'un triangle
Pour construire un triangle, on a besoin de l'une de ces donnees :
- Trois cotes (SSS) — verification par l'inegalite triangulaire
- Deux cotes et l'angle compris (SAS)
- Un cote et deux angles (ASA ou AAS)
- Dans un triangle rectangle : hypothenuse + un cote, ou un cote + un angle
Materiel : compas, regle, rapporteur.
Congruence et similitude
Deux triangles sont congruents (egaux) s'ils ont la meme forme ET la meme taille. Cas de congruence (CAG = SSS, etc.) :
- CAS : Cote-Angle-Cote
- AAC : Angle-Angle-Cote (un angle = angle correspondant)
- CCC : les trois cotes egaux
- Dans un triangle rectangle : hyp + cote, ou angle + cote
Deux triangles sont semblables s'ils ont la meme forme (memes angles) mais pas necessairement la meme taille. Ils sont relies par un rapport k (rapport de similitude).
Si k = 1, ils sont congruents.
Exercices types
Exercice 1 : Dans un triangle ABC, l'angle A = 65° et le triangle est isocele en A (AB = AC). Calcule les angles B et C.
Isocele en A → B = C.
B + C = 180 - 65 = 115°
B = C = 115 / 2 = 57.5°
Exercice 2 : Les cotes d'un triangle mesurent 6 cm, 10 cm et 8 cm. Ce triangle est-il rectangle ?
Test Pythagore : 10² = 100 ; 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Oui, rectangle (angle droit oppose a 10 cm).
Exercice 3 : Peut-on construire un triangle de cotes 4 cm, 5 cm et 10 cm ?
4 + 5 = 9 < 10 → Non, l'inegalite triangulaire n'est pas respectee.
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