Les transformations en 4eme — symetrie centrale et axiale
Une transformation geometrique est une operation qui associe a chaque point du plan un autre point du plan (son image). En 4eme, on etudie deux grandes familles de symetrie. Savoir les distinguer, les construire et connaitre leurs proprietes est essentiel.
La symetrie axiale (ou reflexion)
Definition
La symetrie axiale est la reflexion par rapport a une droite (l'axe de symetrie).
Le symetrique d'un point A par rapport a un axe d est le point A' tel que :
- d est la mediatrice du segment [AA']
- Autrement dit : d est perpendiculaire a [AA'] et passe par son milieu.
Proprietes
- La symetrie axiale conserve les distances : AB = A'B'.
- Elle conserve les angles.
- Elle change l'orientation (une figure et son image sont "retournees" comme dans un miroir).
- L'image d'une droite est une droite.
- L'image d'un cercle est un cercle de meme rayon.
Comment construire le symetrique d'un point ?
Avec equerre et regle :
- Trace la perpendiculaire a l'axe passant par A.
- Mesure la distance de A a l'axe.
- Reporte cette meme distance de l'autre cote de l'axe → A'.
Avec compas :
- Place la pointe du compas en A, trace un arc qui intersecte l'axe en deux points.
- Depuis ces deux points, trace deux arcs qui se croisent → c'est A'.
Construire le symetrique d'une figure
Construis le symetrique de chaque sommet (ou point remarquable), puis relie dans le meme ordre.
La symetrie centrale
Definition
La symetrie centrale est la reflexion par rapport a un point (le centre de symetrie O).
Le symetrique d'un point A par rapport au point O est le point A' tel que :
- O est le milieu de [AA'].
Proprietes
- La symetrie centrale conserve les distances.
- Elle conserve les angles.
- Elle conserve l'orientation (contrairement a la symetrie axiale).
- L'image d'une droite est une droite parallele (ou la meme droite si elle passe par O).
- L'image d'un cercle est un cercle de meme rayon.
Comment construire le symetrique d'un point ?
- Trace le segment [OA].
- Prolonge-le de l'autre cote de O par la meme longueur.
- A' est tel que O est le milieu de [AA'].
Avec les coordonnees (sur un repere) :
Si O = (0, 0) et A = (a, b), alors A' = (-a, -b).
Si O = (xo, yo) et A = (a, b), alors A' = (2xo - a, 2yo - b).
Differences entre les deux symetries
| Symetrie axiale | Symetrie centrale | |
|---|---|---|
| Reference | Une droite (axe) | Un point (centre) |
| Orientation | Inversee | Conservee |
| Image d'une droite | Droite (eventuellement // a l'axe) | Droite parallele |
| "Mouvement" | Reflexion (retournement) | Rotation de 180° |
Astuce : la symetrie centrale est equivalente a une rotation de 180° autour du centre.
Figures ayant des axes de symetrie
- Carre : 4 axes de symetrie
- Rectangle : 2 axes de symetrie
- Triangle equilateral : 3 axes de symetrie
- Cercle : une infinite d'axes (tout diametre)
- Triangle isocele : 1 axe (la hauteur issue du sommet principal)
Figures ayant un centre de symetrie
- Cercle (centre = O)
- Rectangle, carre, parallelogramme, losange
- Lettre Z, S, N en typographie
Exercices types
Exercice 1 : Trace le symetrique du point A(3, 2) par rapport a l'axe des abscisses (l'axe Ox).
Reflexion par rapport a Ox : l'abscisse reste, l'ordonnee change de signe.
A'(3, -2)
Exercice 2 : Trace le symetrique du point B(4, 1) par rapport au point O(2, 3).
x' = 2×2 - 4 = 0 ; y' = 2×3 - 1 = 5
B'(0, 5)
Exercice 3 : Un triangle ABC a pour sommets A(1,1), B(4,1), C(4,3). Trace son image par symetrie centrale de centre O(3,2).
A'(2×3-1, 2×2-1) = (5, 3)
B'(2×3-4, 2×2-1) = (2, 3)
C'(2×3-4, 2×2-3) = (2, 1)
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