Theoreme de Thales — Mathematiques 3eme | Précepteur Scolaire
Le theoreme de Thales est l'un des theoremes les plus importants du programme de 3eme. Il permet de calculer des longueurs inconnues dans des configurations geometriques precises. Il est quasi-systematiquement au brevet.
Configuration de Thales
Le theoreme de Thales s'applique dans la configuration suivante :
- Deux droites qui se coupent en un point O
- Deux droites paralleles coupant ces deux droites
On obtient deux triangles semblables OAB et OA'B', avec A'B' parallele a AB.
Enonce du theoreme
Si les droites (AB) et (A'B') sont paralleles, alors :
OA'/OA = OB'/OB = A'B'/AB
Ce rapport s'appelle le rapport de similitude (ou coefficient de reduction/agrandissement).
Methode pour appliquer Thales
- Identifier la configuration (point O, droites paralleles)
- Nommer correctement les points
- Ecrire les rapports d'egalite
- Resoudre l'equation pour trouver la longueur cherchee
Exemple : O est le point de depart, OA = 3 cm, OB = 4 cm, OA' = 6 cm, (AB) || (A'B').
OA'/OA = 6/3 = 2 (rapport de similitude)
OB' = OB × 2 = 4 × 2 = 8 cm
A'B' = AB × 2 (a calculer de meme)
Cas des droites paralleles "entre" les droites
Dans la configuration "papillon" (les paralleles separent le point O), les rapports sont les memes mais les segments doivent etre identifies correctement.
Reciproque du theoreme de Thales
La reciproque permet de prouver que deux droites sont paralleles.
Si OA'/OA = OB'/OB, alors les droites (AB) et (A'B') sont paralleles.
Exercice type brevet
Dans un triangle OAB, un point M est sur [OA] et N est sur [OB]. On sait que :
- OA = 10 cm, OM = 4 cm
- OB = 15 cm, ON = 6 cm
Prouver que (MN) est parallele a (AB).
OM/OA = 4/10 = 2/5
ON/OB = 6/15 = 2/5
Les rapports sont egaux → par la reciproque de Thales, (MN) || (AB) ✓
Deuxieme exercice : avec (MN) || (AB), OA = 8 cm, OM = 5 cm, AB = 6 cm. Calculer MN.
MN/AB = OM/OA → MN = AB × OM/OA = 6 × 5/8 = 3,75 cm
Points de vigilance
- Bien identifier O (le point de depart, pas une intersection quelconque)
- S'assurer que les droites sont bien paralleles avant d'appliquer le theoreme
- Ne pas confondre les rapports (ne pas mettre OA au numerateur si OA' est la longueur cherchee)
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Le theoreme de Thales perturbe beaucoup d'eleves. Précepteur Scolaire envoie des exercices progressifs pour maitriser la configuration pas a pas. Essai gratuit sur [precepteur.net](https://precepteur.net).