Le theoreme de Pythagore en 4eme — cours d'introduction
Le theoreme de Pythagore est l'un des resultats les plus celebres des mathematiques. Il relie les longueurs des cotes d'un triangle rectangle et permet de calculer une longueur manquante quand on en connait deux.
Enonce du theoreme de Pythagore
Si un triangle est rectangle en un sommet, alors le carre de l'hypothenuse est egal a la somme des carres des deux autres cotes.
Dans un triangle ABC rectangle en A :
BC² = AB² + AC²
Vocabulaire :
- L'hypothenuse est le cote oppose a l'angle droit. C'est le plus grand cote du triangle. Ici : BC.
- Les deux autres cotes (AB et AC) sont appeles les cotes de l'angle droit ou cathetes.
Comment identifier l'hypothenuse ?
L'hypothenuse est toujours le cote oppose a l'angle droit (le cote qui ne touche pas l'angle droit).
Si l'angle droit est en A → l'hypothenuse est BC.
Si l'angle droit est en B → l'hypothenuse est AC.
Si l'angle droit est en C → l'hypothenuse est AB.
Calculer avec Pythagore
Calculer l'hypothenuse
On connait les deux cotes de l'angle droit, on cherche l'hypothenuse.
BC² = AB² + AC²
BC = √(AB² + AC²)
Exemple : AB = 3 cm, AC = 4 cm.
BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
BC = √25 = 5 cm
Calculer un cote de l'angle droit
On connait l'hypothenuse et un cote, on cherche l'autre cote.
AB² = BC² - AC²
AB = √(BC² - AC²)
Exemple : BC = 13 cm, AC = 5 cm.
AB² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
AB = √144 = 12 cm
La reciproque du theoreme de Pythagore
La reciproque permet de verifier si un triangle est rectangle.
Si dans un triangle, le carre du plus grand cote est egal a la somme des carres des deux autres cotes, alors ce triangle est rectangle.
Exemple : un triangle a des cotes 5 cm, 12 cm, 13 cm. Est-il rectangle ?
- Plus grand cote : 13 cm → 13² = 169
- Somme des carres des autres : 5² + 12² = 25 + 144 = 169
- 169 = 169 → oui, le triangle est rectangle (angle droit oppose a 13 cm)
La contraposee de la reciproque
Si le carre du plus grand cote n'est PAS egal a la somme des carres des deux autres, alors le triangle n'est pas rectangle.
Les triples pythagoriciens a connaitre
Des combinaisons de nombres entiers verifiant Pythagore :
- (3, 4, 5)
- (5, 12, 13)
- (8, 15, 17)
- (6, 8, 10) = 2 × (3, 4, 5)
Redaction d'un exercice Pythagore
La presentation compte au controle. Voici la redaction type :
"Dans le triangle ABC rectangle en A, d'apres le theoreme de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25
Donc BC = √25 = 5 cm (car BC > 0)"
Exercices types
Exercice 1 : Dans un triangle PQR rectangle en Q, PQ = 6 cm et QR = 8 cm. Calculez PR.
PR² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → PR = 10 cm
Exercice 2 : Un triangle a des cotes 7, 24 et 25 cm. Est-il rectangle ?
25² = 625 ; 7² + 24² = 49 + 576 = 625. Egal → oui, rectangle.
Exercice 3 : Dans un triangle DEF rectangle en D, EF = 15 cm et DE = 9 cm. Calculez DF.
DF² = EF² - DE² = 225 - 81 = 144 → DF = 12 cm
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