Systemes d'equations — Mathematiques 3eme | Précepteur Scolaire
Les systemes d'equations permettent de resoudre des problemes avec deux inconnues. C'est une extension naturelle des equations du premier degre, souvent introduite en fin de 3eme et evaluee au brevet.
Qu'est-ce qu'un systeme d'equations ?
Un systeme de deux equations a deux inconnues s'ecrit :
{ ax + by = c
{ dx + ey = f
On cherche le couple (x, y) qui verifie les deux equations simultanement.
Interpretation geometrique : chaque equation represente une droite dans le plan. La solution est le point d'intersection des deux droites.
Methode 1 : Substitution
- Isoler une inconnue dans l'une des equations
- Substituer dans l'autre equation
- Resoudre l'equation obtenue
- Retrouver la deuxieme inconnue
Exemple :
{ 2x + y = 7 (1)
{ x - y = 2 (2)
De (2) : x = y + 2
Substituer dans (1) : 2(y + 2) + y = 7
2y + 4 + y = 7
3y = 3
y = 1
Retrouver x : x = 1 + 2 = 3
Verification : 2(3) + 1 = 7 ✓ et 3 - 1 = 2 ✓
Methode 2 : Combinaison lineaire (ou elimination)
Multiplier une equation par un coefficient pour eliminer une inconnue par addition/soustraction.
Exemple :
{ 3x + 2y = 12 (1)
{ x + 2y = 8 (2)
Soustraire (2) de (1) : (3x - x) + (2y - 2y) = 12 - 8
2x = 4
x = 2
Retrouver y : 2 + 2y = 8 → 2y = 6 → y = 3
Exemple avec coefficients :
{ 2x + 3y = 10 (1)
{ 4x - y = 6 (2)
Multiplier (2) par 3 : 12x - 3y = 18
Additionner avec (1) : 14x = 28 → x = 2
Puis : 4(2) - y = 6 → y = 2
Application : problemes
Exemple : la somme de deux nombres est 15 et leur difference est 3. Trouver ces nombres.
{ x + y = 15
{ x - y = 3
Additionner : 2x = 18 → x = 9
Soustraire : 2y = 12 → y = 6
Les deux nombres sont 9 et 6.
Exercice type brevet
Un billet d'adulte coute 8€ et un billet d'enfant coute 5€. 12 billets ont ete vendus pour un total de 75€. Combien d'adultes et d'enfants ?
{ a + e = 12
{ 8a + 5e = 75
De la 1ere : a = 12 - e
Dans la 2eme : 8(12 - e) + 5e = 75
96 - 8e + 5e = 75
-3e = -21
e = 7 → a = 5
5 adultes et 7 enfants
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