Puissances et conversions — Mathematiques 3eme | Précepteur Scolaire
Les puissances et la notation scientifique sont indispensables en 3eme, en maths comme en physique-chimie. Au brevet, on demande souvent de simplifier des expressions ou d'effectuer des calculs avec des puissances de 10.
Definition des puissances
Pour tout reel a et tout entier n entier positif :
aⁿ = a × a × a × ... × a (n fois)
On lit "a exposant n" ou "a puissance n".
Cas particuliers :
- a⁰ = 1 (pour a ≠ 0)
- a¹ = a
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ (puissance negative = inverse)
Exemples :
- 2⁵ = 32
- 3⁻² = 1/9
- 10⁰ = 1
Proprietes des puissances
A meme base :
| Propriete | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Multiplication | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Division | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 3⁵ / 3² = 3³ = 27 |
| Puissance de puissance | (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ | (2³)² = 2⁶ = 64 |
Avec plusieurs bases :
| Propriete | Formule |
|---|---|
| Produit | aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ |
| Quotient | aⁿ / bⁿ = (a/b)ⁿ |
Puissances de 10 et notation scientifique
Les puissances de 10 servent a exprimer des tres grands ou tres petits nombres.
| Puissance | Valeur | Prefixe |
|---|---|---|
| 10⁶ | 1 000 000 | mega (M) |
| 10³ | 1 000 | kilo (k) |
| 10⁻² | 0,01 | centi (c) |
| 10⁻³ | 0,001 | milli (m) |
| 10⁻⁶ | 0,000001 | micro (μ) |
Notation scientifique : un nombre est en notation scientifique quand il s'ecrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.
Exemples :
- 3 600 000 = 3,6 × 10⁶
- 0,000047 = 4,7 × 10⁻⁵
Conversions d'unites
Les conversions reposent sur les puissances de 10. Pour passer d'une unite a une autre, on multiplie ou divise par la puissance de 10 correspondante.
Longueurs : 1 km = 10³ m = 10⁵ cm = 10⁶ mm
Aires : 1 km² = 10⁶ m² (attention : on eleve la puissance au carre)
Volumes : 1 m³ = 10³ L = 10⁶ cm³
Exercices types brevet
Exercice 1 : Simplifier (3² × 3⁴) / 3³
= 3²⁺⁴⁻³ = 3³ = 27
Exercice 2 : Ecrire en notation scientifique : 0,00082
= 8,2 × 10⁻⁴
Exercice 3 : Calculer (2 × 10⁵) × (3 × 10⁻²)
= 6 × 10⁵⁻² = 6 × 10³ = 6000
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