Geometrie dans l'espace — Mathematiques 3eme | Précepteur Scolaire
La geometrie dans l'espace permet de calculer des volumes et des aires de surfaces de solides. Ces calculs reviennent regulierement au brevet, souvent en contexte concret (reservoir, emballage, piscine...).
Les principaux solides
Pave droit (Parallelipede rectangle)
Un pave droit a 6 faces rectangulaires, 12 aretes, 8 sommets.
- Volume : V = L × l × h
- Aire totale : A = 2(Ll + Lh + lh)
Cube
Cas particulier du pave droit avec L = l = h = a.
- Volume : V = a³
Prisme droit
Un prisme a deux bases identiques paralleles reliees par des faces rectangulaires.
- Volume : V = Aire de la base × hauteur
Cylindre de revolution
- Volume : V = π × r² × h
- Aire laterale : A_lat = 2πrh
- Aire totale : A = 2πr(r + h)
Pyramide
Base polygonale et sommets relies a un apex.
- Volume : V = (1/3) × Aire de la base × hauteur
Cone de revolution
- Volume : V = (1/3) × π × r² × h
- Aire laterale : A_lat = π × r × g (g = generatrice)
Boule (sphere)
- Volume : V = (4/3) × π × r³
- Aire de la surface : A = 4πr²
Sections planes
Une section plane est l'intersection d'un solide avec un plan. Les sections a connaitre :
- Section d'un cube par un plan parallele a une face → rectangle ou carre
- Section d'un cylindre par un plan parallele a l'axe → rectangle
- Section d'une sphere par un plan → disque (cercle)
Conversions de volumes
1 m³ = 1000 L = 1 000 000 cm³
Exercices types brevet
Exercice 1 : Une boite cylindrique a un rayon de 5 cm et une hauteur de 12 cm. Calculer son volume.
V = π × 5² × 12 = π × 25 × 12 = 300π ≈ 942,5 cm³
Exercice 2 : Un cone a une base circulaire de rayon 3 cm et une hauteur de 8 cm.
V = (1/3) × π × 9 × 8 = 24π ≈ 75,4 cm³
Exercice 3 : Quelle quantite d'eau peut contenir un aquarium de 60 cm × 30 cm × 40 cm ?
V = 60 × 30 × 40 = 72 000 cm³ = 72 L
Astuce
Les formules de volume avec 1/3 sont pour les solides "pointus" (pyramide, cone). Sans le 1/3 : pave, prisme, cylindre.
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