Les fractions en 4eme — operations, comparaison et simplification
Les fractions sont un outil mathematique fondamental. En 4eme, on consolide toutes les operations et on aborde la division de fractions. Une bonne maitrise des fractions facilite la resolution d'equations et les problemes de proportionnalite.
Vocabulaire de base
Dans la fraction a/b :
- a = le numerateur (le nombre du dessus)
- b = le denominateur (le nombre du dessous, jamais 0)
La fraction a/b = a divise par b.
Fraction irreductible : une fraction est irreductible quand le numerateur et le denominateur n'ont pas de diviseur commun autre que 1.
Simplifier une fraction
On divise le numerateur et le denominateur par le meme nombre (leur PGCD).
Exemple : 12/18
- Diviseurs communs : 1, 2, 3, 6 → PGCD = 6
- 12 ÷ 6 = 2 ; 18 ÷ 6 = 3
- 12/18 = 2/3 (irreductible)
Methode rapide : divise par 2 si les deux sont pairs, par 3 si la somme des chiffres est divisible par 3, etc.
Comparer des fractions
Meme denominateur : compare les numerateurs. 3/7 < 5/7.
Denominateurs differents : mets les fractions au meme denominateur (denominateur commun).
Exemple : comparer 3/4 et 5/6.
PPCM de 4 et 6 = 12.
3/4 = 9/12 et 5/6 = 10/12.
Comme 9 < 10 → 3/4 < 5/6.
Addition et soustraction de fractions
Meme denominateur : additionne ou soustrait les numerateurs.
3/7 + 2/7 = 5/7
Denominateurs differents : mets au meme denominateur d'abord.
1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12
Methode :
- Trouve le PPCM des denominateurs (ou multiplie-les si premiers entre eux).
- Transforme chaque fraction en fraction equivalente avec ce denominateur.
- Additionne (ou soustrait) les numerateurs.
- Simplifie si possible.
Exemple : 5/6 - 2/9
PPCM(6, 9) = 18.
5/6 = 15/18 et 2/9 = 4/18.
15/18 - 4/18 = 11/18
Multiplication de fractions
On multiplie numerateur par numerateur, denominateur par denominateur.
a/b × c/d = (a × c) / (b × d)
Exemple : 3/4 × 8/9 = (3×8) / (4×9) = 24/36 = 2/3
Astuce : simplifier en croix avant de multiplier pour eviter les grands nombres.
3/4 × 8/9 : on simplifie 3 et 9 par 3, et 4 et 8 par 4 → 1/1 × 2/3 = 2/3
Division de fractions
Diviser par une fraction = multiplier par son inverse.
a/b ÷ c/d = a/b × d/c
Exemple : 3/5 ÷ 6/7 = 3/5 × 7/6 = 21/30 = 7/10
Fraction et nombre entier
On peut ecrire un entier comme une fraction : 4 = 4/1.
4 × 3/5 = 4/1 × 3/5 = 12/5
Exercices types
Exercice 1 : Simplifie 48/60.
PGCD(48, 60) = 12. 48/60 = 4/5
Exercice 2 : Calcule 2/3 + 5/4.
PPCM(3,4) = 12. 8/12 + 15/12 = 23/12
Exercice 3 : Calcule 5/6 × 3/10.
5/6 × 3/10 = (5×3)/(6×10) = 15/60 = 1/4 (ou simplifie en croix : 5 et 10 par 5, 3 et 6 par 3 → 1/2 × 1/2 = 1/4)
Exercice 4 : Calcule 7/8 ÷ 14/4.
7/8 ÷ 14/4 = 7/8 × 4/14 = 28/112 = 1/4
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